versão original de esta história apareceu em Revista Quanta.
Parado no meio de um campo, é fácil esquecer que vivemos num planeta redondo. Somos tão pequenos comparados à Terra que ela parece plana da nossa perspectiva.
O mundo está cheio dessas formas. Embora possa ter uma estrutura geral mais complexa, parece plano para as formigas que vivem nele. Os matemáticos chamam essas formas de variedades. Introduzidas por Bernhard Riemann em meados do século XIX, as variedades mudaram a forma como os matemáticos pensam sobre o espaço. Não era mais um cenário físico para outros objetos matemáticos, mas um objeto abstrato e bem definido, digno de estudo por si só.
Esta nova perspectiva permitiu aos matemáticos explorar rigorosamente espaços de dimensões superiores, levando ao nascimento da topologia moderna, um campo dedicado ao estudo de espaços matemáticos como variedades. As variedades também passaram a ocupar um papel central em campos como geometria, sistemas dinâmicos, análise de dados e física.
Hoje eles fornecem aos matemáticos um vocabulário comum para resolver todos os tipos de problemas. Assim como o alfabeto é importante para a linguagem, também é fundamental para a matemática. “Se eu conheço o alfabeto cirílico, também posso saber russo?” disse Fabrício BianchiMatemático pela Universidade de Pisa, Itália. “Não, mas tente aprender russo sem aprender cirílico.”
Então, o que é uma variedade e que tipo de vocabulário ela fornece?
ideia tomando forma
Durante milhares de anos, a geometria significou o estudo de objetos no espaço euclidiano, o espaço plano que vemos ao nosso redor. “Até o século XIX, ‘espaço’ significava ‘espaço físico’”, disse José Ferreirós, filósofo da ciência da Universidade de Sevilha, em Espanha. É semelhante a uma linha em uma dimensão ou a um plano em duas dimensões.
No espaço euclidiano, as coisas funcionam conforme o esperado. A menor distância entre dois pontos é uma linha reta. A soma dos ângulos de um triângulo é 180 graus. As ferramentas de cálculo são confiáveis e bem definidas.
Mas no início do século XIX, alguns matemáticos começaram a explorar um tipo diferente de espaço geométrico: um que não era plano, mas sim curvo, como uma esfera ou sela. Nestes espaços, linhas paralelas podem eventualmente se cruzar. A soma dos ângulos de um triângulo pode ser maior ou menor que 180 graus. E fazer cálculo pode ser muito menos simples.
A comunidade matemática teve dificuldade em aceitar ou compreender esta mudança no pensamento geométrico.
Mas alguns matemáticos queriam levar estas ideias mais longe. Um deles era Bernhard Riemann, um jovem tímido. Ele planejou originalmente estudar teologia, onde seu pai era pastor, antes de se interessar por matemática. Em 1849, decidiu fazer o doutorado sob a orientação de Carl Friedrich Gauss, que estudou as propriedades intrínsecas de curvas e superfícies independentes do espaço circundante.
