A compreensão da geometria natural dos cristais há muito fascina os cientistas, especialmente quando se estuda como os materiais se comportam em diferentes temperaturas e pressões. Uma questão importante neste campo é se as formas formadas quando a energia é minimizada sempre se curvam para fora – o que os cientistas chamam de convexas, o que significa que nenhuma parte da superfície é côncava para dentro. O problema fica ainda mais interessante quando olhamos para formas tridimensionais, porque as coisas ficam mais complicadas em três dimensões.
Emanuel Indrei, da Kennesaw State University, e Dr. Aram Karakhanyan, da Universidade de Edimburgo, abordaram esse desafio estudando problemas matemáticos bem conhecidos relacionados à formação de cristais. As suas descobertas, publicadas na revista Mathematics, exploram se os cristais formados por equilíbrio de energia – encontrando a forma mais eficiente para uma determinada massa – assumem naturalmente uma forma convexa quando seguem certas regras gerais.
No centro da sua investigação está uma demonstração matemática detalhada (uma prova passo a passo) que mostra que, sob certas condições, a forma que utiliza menos energia é de facto convexa em três dimensões. Dr. Indrei e Dr. Karakhanyan estudaram situações em que as forças envolvidas empurram para fora de maneira uniforme e a energia total permanece dentro dos limites estabelecidos. Eles descobriram que todas as melhores formas eram convexas ou pelo menos as formas formadas com menores quantidades de material eram convexas. Eles chegaram a essa conclusão usando resultados conhecidos obtidos pelo Dr. Indrei sobre estabilidade, publicados recentemente na revista Calculus of Variations and Partial Differential Equations, ou seja, quão resistente é uma forma à mudança, e ferramentas matemáticas que tratam da relação entre mudanças na energia e na forma.
Seus resultados são importantes porque ajudam a elucidar quais tipos de forças e padrões de energia garantem formas cristalinas convexas. Nos casos em que a força de tração é a mesma em todas as direções e a energia potencial aumenta com a distância do centro (chamada simetria radial), as suas descobertas mostram que uma forma convexa é sempre produzida. Como explicam os pesquisadores, “Nosso teorema implica convexidade para energias potenciais em massa; nosso argumento também abrange energias potenciais não convexas”.
Uma parte particularmente interessante de seu trabalho envolve uma nova maneira de testar a convexidade, observando a maneira como uma forma se dobra ou se curva. Os investigadores descobriram que, com base na suposição de regularidade da energia, se um cristal é achatado num ponto, deve ser plano em todos os lugares próximos – o que significa que a forma não pode ser curvada em algumas partes e curvada noutras. Isto fornece uma ferramenta útil para prever quando e onde um cristal pode perder sua curva externa e uma compreensão mais clara de quão consistentemente a forma é mantida.
Indrei e Dr. Karakhanyan resumiram sua pesquisa observando a importância da curvatura externa consistente e da resistência a pequenas mudanças em pequenas quantidades de material. Quando estes fatores estão presentes, a forma resultante não apenas permanece convexa, mas tem menos probabilidade de perder a sua forma. Os seus resultados mostram que as formas dos cristais seguem regras subjacentes que são mais ordenadas do que parecem. “Nossa nova ideia para o problema tridimensional de Almgren explora o teorema da estabilidade… e a primeira variante da equação diferencial parcial de energia livre usando uma nova abordagem de princípio máximo”, disseram os pesquisadores.
Aqui, PDE refere-se a uma equação diferencial parcial, uma equação comumente usada para descrever como quantidades físicas como energia ou calor mudam no espaço e no tempo. O princípio do máximo é uma regra matemática que ajuda a prever o comportamento de uma função com base em seus limites.
Esta pesquisa marca um passo importante na compreensão de como e por que os cristais formam suas formas quando a energia é minimizada. Continua uma longa tradição de utilização da matemática para explicar o mundo físico – uma tradição que remonta a pioneiros como Gibbs e Curie. Esta nova pesquisa pode ajudar a orientar futuras pesquisas teóricas e trabalhos práticos para modelar e projetar materiais com formas e propriedades específicas.
Referência do diário
Indrei, E., Karakhanyan, A. “Sobre a forma tridimensional dos cristais.” Matemática, 2025; 13(614). Número digital: https://doi.org/10.3390/math13040614
Indrei, E. “Sobre a forma de equilíbrio dos cristais.” Computação. variante. Parcialmente. diferente. Eq. 2024, 63, 97.DOI: https://doi.org/10.1007/s00526-024-02716-6
Sobre o autor
Emmanuel André é professor assistente de matemática na Kennesaw State University. Ele recebeu seu Ph.D. Ele recebeu seu doutorado em matemática pela Universidade do Texas em Austin em 2013. Sua tese de doutorado ganhou o Prêmio de Dissertação Frank Gerth III. Ele é bolsista NSF EAPSI de 2012, pós-doutorado na Australian National University, bolsista de pós-doutorado Huneke no Instituto de Ciências Matemáticas em Berkeley, Califórnia, e pós-doutorado PIRE na Carnegie Mellon University. Seus tópicos de pesquisa são equações diferenciais parciais não lineares, problemas de limites livres e desigualdades geométricas e funcionais. Nos últimos anos, ele provou a conjectura da intersecção não transversal, resolveu o problema de Almgren bidimensional (e também unidimensional) e fez progressos na conjectura de Polya-Sego para os primeiros autovalores de Laplace em polígonos.
Aram Karahanyan é professor associado de matemática na Universidade de Edimburgo, onde estuda equações diferenciais parciais não lineares e análise geométrica. Sua pesquisa abrange capilares e superfícies K, a equação de Monge-Ampère, superfícies refletoras, transições de fase e problemas de limites livres. Notavelmente, ele resolveu o problema do refletor de campo próximo (que foi incluído nos 100 Desafios Abertos de Yau) e desenvolveu uma compreensão profunda dos problemas de obstáculos e da elasticidade não linear. Suas contribuições estenderam-se à teoria da homogeneidade, estudando a regularidade de minimizadores sob restrições complexas. Recebedor de diversas bolsas plurianuais, incluindo uma bolsa EPSRC e um Prêmio Polonez, Karakhanyan lidera equipes interdisciplinares em desafios analíticos. Ele colabora regularmente internacionalmente e orienta estudantes de pós-graduação na vanguarda da análise matemática.
