Um novo estudo realizado por matemáticos da Freie Universität Berlin mostra que os ladrilhos planos, também conhecidos como mosaico, são mais do que apenas uma técnica decorativa. O padrão de mosaico cobre a superfície de uma ou mais formas geométricas sem lacunas ou sobreposições, e os pesquisadores demonstraram que essas estruturas podem servir como ferramentas precisas para resolver problemas matemáticos difíceis. As descobertas foram publicadas no artigo “The Beauty of Mathematics: Tessellation and Its Formulas”, escrito por Heinrich Begehr e Dajian Wang e publicado na revista Análise aplicável. Este trabalho reúne ideias de análise complexa, equações diferenciais parciais e teoria das funções geométricas.
O núcleo desta pesquisa é o “princípio da reflexão do parquet”. Este método envolve refletir repetidamente as bordas de uma forma geométrica para preencher uma superfície plana, criando um padrão altamente ordenado e simétrico. Exemplos visuais famosos deste ladrilho podem ser encontrados na arte de MC Escher. Os pesquisadores mostraram que além do apelo visual, essas reflexões também desempenham um papel prático na análise matemática. Por exemplo, eles podem ser usados para ajudar a resolver problemas clássicos de valores de contorno, como o problema de Dirichlet ou o problema de Neumann.
beleza com estrutura e propósito
O professor Heinrich Berger disse: “Nossa pesquisa mostra que a beleza na matemática não é apenas um conceito estético, mas algo com profundidade estrutural e eficiência”. “Embora pesquisas anteriores sobre mosaico tenham se concentrado principalmente em como usar formas para ladrilhar ou cobrir superfícies – por exemplo, alguns trabalhos famosos do ganhador do Prêmio Nobel Sir Roger Penrose – usar o método de reflexão de mosaico para gerar novos padrões de mosaico abre novas possibilidades. É uma ferramenta prática para desenvolver métodos para representar funções dentro dessas áreas lado a lado, o que pode ser útil em áreas como física matemática e engenharia. “
Um resultado importante desta abordagem é a capacidade de derivar uma fórmula precisa para a função kernel. Estes incluem os kernels Green, Neumann e Schwarz, que são ferramentas importantes para resolver problemas de valores de contorno em física e engenharia. Ao vincular padrões geométricos a fórmulas analíticas, a pesquisa une o pensamento visual intuitivo com uma precisão matemática rigorosa.
Interesse crescente e aplicações em expansão
O princípio da reflexão em parquet tem atraído cada vez mais atenção há mais de uma década e é particularmente popular entre os pesquisadores em início de carreira. Desde o seu lançamento, a Freie Universität produziu 15 teses e trabalhos finais com foco neste tema, além de sete artigos adicionais de pesquisadores de outros países.
O método não se limita a espaços familiares planos ou euclidianos. Também se aplica à geometria hiperbólica comumente usada na física teórica e nos modelos espaço-temporais modernos. O interesse nesta área continua a crescer. No ano passado, Begehr publicou um artigo na revista Complex Variables and Elliptic Equations intitulado “Hyperbolic Surface Tessellation: Harmonic Green’s Functions of Schweikart Triangles in Hyperbolic Geometry”, no qual ele demonstrou como usar o princípio de reflexão do parquet para construir as funções harmônicas de Green dos triângulos de Schweikart no plano hiperbólico.
“Esperamos que nossos resultados não apenas ressoem nos campos da matemática pura e da física matemática”, disse Wang Dajiang, “mas possam até inspirar ideias em campos como arquitetura ou computação gráfica”.
A tradição dos azulejos de Berlim
Por quase duas décadas, uma equipe de pesquisa liderada por Heinrich Berger, do Instituto de Matemática da Freie Universität Berlin, vem estudando os chamados “azulejos de espelho de Berlim”. Este método baseia-se no princípio da reflexão unificada proposto pelo matemático berlinense Hermann Amandus Schwarz (1843-1921).
Neste método, um polígono circular (uma forma cujas arestas são compostas por linhas retas e arcos) é refletido repetidamente até preencher todo o plano sem sobreposições ou lacunas. Esses projetos são visualmente impressionantes, mas também possibilitam escrever representações integrais explícitas de funções, o que é crucial para resolver problemas complexos de valores de contorno.
“Certa vez, os matemáticos tiveram que usar um espelho de maquiagem de três partes para gerar sequências infinitas de imagens”, diz Berger. “Agora, podemos usar programas de computador iterativos para produzir o mesmo efeito – e podemos complementar esse efeito com fórmulas matemáticas precisas usadas em análises complexas.”
Triângulos de Schweikart e geometria hiperbólica
A tesselação em espaços hiperbólicos é particularmente impressionante, mas também particularmente difícil de analisar. Esses padrões geralmente aparecem em discos e requerem ferramentas matemáticas complexas. Um conceito-chave neste campo é o “triângulo de Schweikart”, um tipo especial de triângulo com um ângulo reto e dois ângulos zero. Seu nome é uma homenagem ao matemático amador e professor de direito Ferdinand Kurt Schweikart (1780-1857).
O triângulo de Schweikart permite que os matemáticos ladrem completa e regularmente um disco. Os padrões resultantes são visualmente impressionantes e podem inspirar designers em áreas como computação gráfica e arquitetura. Ao mesmo tempo, a base matemática por trás destas estruturas é muito avançada e requer um trabalho analítico cuidadoso.
Matemática como ciência visual
As descobertas da equipe destacam um aspecto frequentemente esquecido da matemática. A matemática não é apenas um assunto abstrato focado em símbolos e equações. É também uma ciência visual onde a estrutura, a simetria e a estética desempenham um papel vital. Combinadas com modernas ferramentas de visualização, software gráfico e tecnologias digitais, estas ideias ganham maior relevância e impacto no mundo real.
