Durante quase um século, a linguagem matemática da mecânica quântica baseou-se em números complexos, embora o seu fundador, Erwin Schrödinger, nunca tenha abraçado totalmente esta opção. Números complexos são quantidades matemáticas que contêm uma parte imaginária e são amplamente utilizadas para simplificar cálculos em física. Um novo estudo teórico revisita uma das primeiras ideias de Schrödinger e sugere que a mecânica quântica pode ser descrita usando apenas números reais, ou seja, números comuns sem partes imaginárias, enquanto ainda reproduz todas as previsões de energia conhecidas. Este trabalho revisita uma equação de onda de quarta ordem amplamente negligenciada, proposta pelo próprio Schrödinger em 1926, envolvendo mudanças matemáticas de nível superior, e examina seu significado físico e consequências práticas em termos mais claros.
A pesquisa foi conduzida pelo professor Nicos Makris, da Southern Methodist University, e pelo professor Gary Dargush, da University at Buffalo. Eles mostraram que a equação original de onda de matéria de valor real de quarta ordem de Schrödinger – uma descrição matemática de como as partículas se comportam como ondas – produzia exatamente os mesmos valores de energia que a familiar equação de Schrödinger de valor complexo de segunda ordem ensinada nos livros didáticos de hoje. No entanto, as equações de valor real também prevêem um conjunto de valores de energia adicionais que refletem valores de energia conhecidos. A pesquisa foi publicada na revista científica Physics Open.
Segundo o professor Makris, a motivação para revisitar a ideia veio diretamente do próprio trabalho de Schrödinger. Schrödinger ficou perturbado com a forte dependência de números complexos, escrevendo que “o uso de funções de onda complexas” tinha uma “certa rugosidade”. Uma função de onda é uma ferramenta matemática que descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em um local específico. Ele sugeriu que o estado físico de um sistema pode ser representado em termos de funções reais e como elas mudam ao longo do tempo. Neste estudo, os investigadores regressaram a esta fórmula inicial e testaram as suas previsões utilizando ferramentas matemáticas modernas e métodos computacionais, mantendo-se fiéis ao raciocínio original de Schrödinger.
Os professores Makris e Dargush mostraram que a equação de quarta ordem reproduz corretamente os níveis de energia de sistemas quânticos bem conhecidos, incluindo ressonadores (um modelo simples frequentemente comparado a uma massa em uma mola), partículas confinadas em poços de energia simples (áreas que prendem partículas como uma tigela prendendo uma bola de gude) e átomos de hidrogênio (os átomos mais simples que consistem em um próton e um elétron). Esses sistemas são frequentemente usados como paradigmas fundamentais em física porque seu comportamento é bem compreendido. Para cada nível de energia positivo previsto pela equação padrão de Schrödinger, a versão com valor real produz uma contraparte negativa correspondente. Como explica o professor Dagush, “a equação de onda de matéria de valor real de quarta ordem de Schrödinger… produz os autovalores exatos da equação de onda de matéria de valor complexo de segunda ordem de Schrödinger e o mesmo número de autovalores de espelho negativos.” Os autovalores aqui referem-se aos valores de energia permitidos que um sistema quântico pode ter.
Para chegar a esta conclusão, os professores Makris e Dargush desenvolveram uma estrutura variacional, um método matemático para encontrar soluções minimizando ou equilibrando quantidades, remodelando a equação de onda em uma forma que só pode ser resolvida usando números reais. Em suma, esta abordagem transforma o problema em um problema semelhante aos cálculos já utilizados na engenharia e na física clássica. Estas equações são então resolvidas numericamente, ou seja, com a ajuda de computadores, utilizando um método que divide o problema em pequenas partes geríveis, permitindo ao computador calcular resultados precisos mesmo quando o panorama energético muda repentinamente. Os resultados numéricos coincidem estreitamente com soluções conhecidas, confirmando que a descrição de valor real é aplicável a vários sistemas quânticos diferentes.
Uma característica marcante da equação de quarta ordem é que ela depende explicitamente de como a paisagem energética muda em diferentes locais, referindo-se a como as forças que atuam sobre uma partícula mudam no espaço, e não apenas a sua forma geral. A equação de Schrödinger comumente usada evita essa complexidade, tornando-a mais fácil de aplicar. Os professores Makris e Dargush explicam que esta simplicidade tem um custo. Como aponta o professor Makris, “a equação clássica de onda de matéria de valor complexo de segunda ordem de Schrödinger… é uma descrição mais simples de ondas de matéria porque não envolve derivadas espaciais do potencial, mas às custas da perda de níveis negativos de energia da imagem.” As derivadas espaciais descrevem como uma quantidade muda com a localização, um conceito semelhante ao modo como a inclinação descreve as mudanças em uma encosta.
O significado físico destes níveis de energia negativos permanece obscuro. Os professores Makris e Dargush compararam esta situação aos problemas clássicos de vibração na engenharia, onde as equações matemáticas muitas vezes prevêem soluções adicionais que não têm significado físico e são, portanto, ignoradas. Se os níveis negativos de energia quântica aqui previstos correspondem a efeitos físicos reais ou se devem ser tratados de forma semelhante permanece uma questão em aberto que este estudo não tentou responder.
Em vez disso, o foco deste trabalho é provar que a matemática em si é sólida e que os cálculos podem ser realizados de forma confiável. A pesquisa desafia a crença comum de que os números complexos são cruciais para a mecânica quântica, mostrando que uma descrição inteiramente baseada em números reais pode reproduzir todos os valores conhecidos de energia quântica. Também chama a atenção renovada para questões que o próprio Schrödinger levantou há quase cem anos, mas que acabou por ser arquivada.
Em suma, a equipe dos professores Makris e Dargush acredita que a mecânica quântica não relativística, isto é, uma versão da teoria quântica aplicável às velocidades cotidianas em vez do movimento próximo à luz, pode alcançar uma descrição de valor real matematicamente completa e numericamente precisa. Embora a explicação para o nível adicional de energia do espelho permaneça sem solução, este estudo fornece uma base sólida para pesquisas futuras. Como enfatizam os pesquisadores, “a descrição de valor real da mecânica quântica não relativística está associada à presença de níveis de energia de imagem negativos”, uma descoberta que desencadeia novas discussões sobre os fundamentos matemáticos fundamentais da teoria quântica.
Referência do diário
Makris N., Dargush GF, “Descrição de valor real da mecânica quântica usando a equação matéria-onda de quarta ordem de Schrödinger.” Aberto de Física, 2025. doi: https://doi.org/10.1016/j.physo.2025.100262
Sobre o autor
Professor Nikos Makrisé um especialista reconhecido internacionalmente em engenharia estrutural de terremotos e dinâmica de mecânica estrutural e professor do Centenário da Família Eddy de Engenharia Civil na Southern Methodist University em Dallas, Texas. Makris recebeu seu doutorado (1992) e mestrado (1990) pela State University of New York em Buffalo, EUA; possui um Diploma em Engenharia Civil pela Universidade Técnica Nacional de Atenas, Grécia (1988). Anteriormente, lecionou na Universidade de Notre Dame, Indiana (1992-1996); a Universidade da Califórnia, Berkeley (1996-2005); a Universidade de Patras, Grécia (2003-2014); e a Universidade da Flórida Central (2014-2018). Publicou mais de 140 artigos em revistas de arquivo e orientou 16 teses de doutoramento e mais de 40 teses de mestrado e de diploma de 5º ano. Foi editor da revistaTerremotos e Estruturas;Editor Adjunto Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Presidente do Comitê de Dinâmica na mesma revista. Ele é membro das seguintes organizações academia europeia de ciências Acadêmico estrangeiro da Academia Europeia de Ciências Academia Sérvia de Ciências e Artesum acadêmico Sociedade Americana de Engenheiros Civis (ASCE) e Distinguished Visiting Scholar Academia Real de Engenharia;Além disso, ele recebeu muitos prêmios e prêmios internacionais, incluindo Medalha de Controle e Monitoramento Estrutural George W. Hausner e Medalha J. James R. Cross (duas vezes) ambos da ASCE, Prêmio Walter Huber de Pesquisa em Engenharia Civil da Sociedade Americana de Engenheiros Civis (ASCE) Prêmio Xie Dongjiang da Instituição de Engenheiros Civis Prêmio de Inovação da Família Shah Do Instituto Americano de Pesquisa em Engenharia de Terremotos (EERI) e Prêmio Carreira Da Fundação Nacional de Ciência. De 2003 a 2009, o Professor Makris atuou como diretor da reconstrução do Templo de Zeus na antiga Neméia, na Grécia: https://www.youtube.com/watch?v=LsxPSeWS52Q
Professor DagushCom experiência em mecânica teórica e computacional, é professor de Engenharia Mecânica e Aeroespacial (MAE) na Universidade Estadual de Nova York em Buffalo (UB). Sua pesquisa abrange mecânica contínua de sólidos e fluidos, engenharia estrutural, otimização de projetos e física de engenharia, com foco recente na mecânica dependente do tamanho de contínuos submícrons, para a qual ele co-desenvolveu a teoria de tensão de casal consistente (C-CST). Isto é governado por um sistema de equações diferenciais parciais de quarta ordem, que curiosamente tem uma estrutura semelhante à de um sistema de equações diferenciais parciais de quarta ordem.o Encomende a teoria de Schrödinger da mecânica quântica. Outro trabalho importante de Dargush inclui o desenvolvimento do princípio variacional de convolução para sistemas dinâmicos, o método dos elementos de contorno para sistemas multifísicos e uma monografia bem conhecida sobre sistemas passivos de dissipação de energia para controle sísmico estrutural. No geral, seus projetos de pesquisa foram financiados pela NSF, NASA, ONR, General Motors, Daimler-Benz e outras instituições, e ele publicou mais de 150 artigos em periódicos de arquivo, três livros, 27 teses de doutorado e quase 10.000 citações do Google Scholar. Seu oito Ph.D. Os alunos ocupam cargos de ensino em universidades de todo o mundo. Além disso, Dargush atuou como presidente do MAE (2008-2014) e reitor associado de pesquisa e pós-graduação (2014-2017) na Escola de Engenharia e Ciências Aplicadas da Universidade de Buffalo.
