A teoria dos grafos, o estudo de estruturas matemáticas conectadas por pontos chamados vértices e linhas chamadas arestas, tem sido uma importante área da matemática. A teoria dos grafos é um assunto matematicamente interessante com amplas aplicações em diferentes campos, como ciência da computação, química, física, biologia e ciências sociais.
Um conceito importante na teoria dos grafos é o grau de um vértice em um grafo, que é definido como o número de arestas associadas a esse vértice. O primeiro índice de Zagreb de um gráfico é definido como a soma dos quadrados dos graus dos vértices do gráfico. O primeiro índice de Zagreb foi proposto por Gutman e Trinajstić em 1972 e originou-se do estudo da teoria química dos grafos, onde o grau de cada vértice do gráfico é menor ou igual a 4. O primeiro índice de Zagreb é um dos mais importantes índices topológicos de grafos e tem sido intensamente estudado ao longo dos anos.
Um grafo é chamado de grafo hamiltoniano se tiver um ciclo que contém todos os vértices do grafo. O problema hamiltoniano na teoria dos grafos é encontrar uma representação de um grafo hamiltoniano. Matematicamente falando, são condições necessárias e suficientes para encontrar o gráfico hamiltoniano. O problema de Hamilton é um dos principais problemas não resolvidos da teoria dos grafos. Ao estudar problemas hamiltonianos, os pesquisadores geralmente se concentram em encontrar condições suficientes para gráficos hamiltonianos.
Recentemente, o professor Rao Li da Universidade da Carolina do Sul, Aiken, propôs uma nova condição suficiente baseada no primeiro índice de Zagreb do gráfico hamiltoniano. A pesquisa foi publicada na revista Mathematics, revisada por pares. Durante o processo de pesquisa, o professor Li utilizou o famoso teorema de Chvátal-Erdös na teoria dos grafos hamiltonianos, uma observação do gráfico e duas desigualdades estabelecidas por Shisha e Mond em 1967.
É geralmente aceito que é difícil encontrar uma expressão matemática fechada para o primeiro índice de Zagreb de um gráfico. Os investigadores concentram-se frequentemente na obtenção dos limites do primeiro índice de Zagreb. O professor Li percebeu que as ideias e técnicas desenvolvidas para obter condições suficientes para gráficos hamiltonianos poderiam ser usadas para estabelecer novos limites superiores para o primeiro índice de Zagreb. Após uma análise cuidadosa, o Professor Li finalmente propôs dois novos limites superiores alcançáveis para o primeiro Índice de Zagreb no mesmo artigo.
“É muito interessante que tenhamos conseguido usar desigualdades na análise matemática para encontrar novas condições suficientes envolvendo o primeiro expoente de Zagreb dos gráficos hamiltonianos e novos limites superiores no primeiro expoente de gráficos de Zagreb. Esta pesquisa demonstra novas aplicações do primeiro expoente de Zagreb e enriquece a pesquisa sobre a teoria dos grafos hamiltonianos e o primeiro expoente de gráficos de Zagreb, “disse o professor Li.
Referência do diário
Li, R. “O primeiro expoente de Zagreb e algumas propriedades hamiltonianas dos gráficos.” Matemática, 2024. DOI: https://doi.org/10.3390/math12243902
